3.1.-REPRESENTACIÓN DE OBJETOS EN TRES DIMENSIONES
· OBJETO TRIDIMENSIONAL
Cualquier
objeto tridimensional puede representarse como un conjunto de superficies
poligonales planas. Una representación de un polígono ofrece a una descripción
aproximada del objeto.
Cada
polígono de un objeto puede especificarse en paquetes
de gráficas mediante comando de líneas o de llenado de área
para definir las coordenada del vértice. Los paquetes CAD a menudo permiten a
los usuarios introducir posiciones para el vértice conjunto con frontera de
polígonos con métodos interactivos.
· TABLA DE POLÍGONO
Una vez
que el usuario haya definido cada superficie de polígono, el paquete
de gráfica organiza los datos de entrada en las tablas que se
utilizaran en el procesamiento y despliegue de las superficies. Los datos de la
tabla contiene las propiedades geométricas y de atributos del objeto,
organizadas para facilitar el procedimiento. Las tablas de datos geométricos
contienen coordenada y parámetros de fronteras para identificar la orientación
en el espacio de las superficies poligonales.
Un método
adecuado para almacenar información de coordenadas consiste en crear 3 listas:
·
Tabla de vértices
·
Tabla de
aristas
·
Tabla de
polígonos
|
TABLA
DE VÉRTICES
|
|
V1: X1,Y1,Z1
V2: X2,Y2,Z2
V3: X3,Y3,Z3
V4: X4,Y4,Z,4
V5: X5,Y5,Z5,
|
|
TABLA DE ARISTAS
|
|
E1: V1,V2
E2: V2,V3
E3: V3,V4
E4: V4,V5
E5: V4,V5
E6: V5,V6
|
|
TABLA DE POLIGONOS
|
|
S1: E1,E2,E3
S2: E2,E4,E5,E6
|
Algunas
de las pruebas que podría realizar un paquete de gráficas son:
1.- Que
todos y cada uno de los vértices se en listen como un extremo de
cuanto menos 2 líneas
2.- Que
toda línea sea parte cuando menos de un polígono.
3.- Que
todo polígono sea cerrado
4.- Que
cada polígono tenga al menos una arista compartida.
5.- Si la
tabla de aristas contiene apuntadores a polígonos, que toda arista referenciada
por un apuntador de polígonos que tenga un apuntador recíproco hacia el
polígono.
· ECUACIONES DE PLANOS
Los parámetros que especifican la
orientación espacial de cada polígono se obtienen de los valore ordenados de
los vértices y de las ecuaciones que se definen de los planos poligonales.
Estos parámetros de planos se utilizan en transformaciones de visión, modelo de
sombreado, algoritmos de superficies ocultas que determinan líneas y planos que
se traslapan a lo largo de la línea de visión.
La ecuación de una superficie plana
puede expresarse así:
Ax + By + Cz + D = 0
Donde (x,y,z) es cualquier punto del
plano. Los coeficientes A,B,C,D son constantes que pueden calcularse utilizando
los valores coordenados de tres puntos no colineales en el plano.
3.2 VISUALIZACION DE OBJETOS
Existen distintos modos de entender lo que es una
"grafica tridimensional", aunque todos se refieren a ilustraciones
que en realidad son solo bidimensionales. La forma mas conocida y antigua es la
estereoscópica.
Se basa
en la diferente visión de los dos ojos y produce el efecto de profundidad
mediante lentes con filtros rojo y verde (uno para cada ojo).
Otra estuvo en pleno auge hace un par de años y se conoce
como "auto estereograma": son los "puntitos" que no parecen
representar nada pero, con buenos ojos, paciencia, esfuerzo para desenfocar la
vista permiten ver figuras con "profundidad".
La técnica para
esto es otra: es la que usan arquitectos e ingenieros para diseñar edificios,
muebles y máquinas. En otras palabras, se necesitan planos o, mas precisamente,
juegos de coordenadas de todos los vértices, ecuaciones que representen los
vectores (aristas rectas o curvas) y muchos cálculos para hacer aparecer un
objeto en cierta posición y luego en otra.
También
instrucciones y cálculos para posicionar fuentes de luz, proyectar sombras,
ajustar colores en función de la distancia, etc. Esto es lo que hicieron las
aplicaciones profesionales de CAD (diseño asistido por computador) primero en
grandes computadores o en máquinas especializadas (estaciones graficas) y hoy
se están popularizando como aplicaciones de 3D al alcance de cualquier
aficionado.
- MODELAMIENTO ("MODELING")
Lo primero, en
la creación 3D, consiste en crear un objeto: es el "modelamiento".
Esto puede
hacerse de diversas maneras. Lo mas simple es hacer un dibujo en dos
dimensiones y luego "moverlo" para generar un volumen.
Una herramienta utilizada es la extrusión consiste en
desplazar el dibujo inicial siguiendo una línea recta o una trayectoria
tridimensional prediseñada, dejando un "rastro" de sus posiciones
anteriores.
Otra herramienta
para modelar es la revolución ("Lathe"): se desplaza el dibujo inicial
siguiendo un círculo, alrededor de un eje preelegido. Así, medio círculo genera
una esfera y el simple perfil de la ilustración superior produce el volumen que
la sigue. Además de proponer objetos simples prediseñados, un buen modelador
permite unir varios volúmenes entre si
- PRODUCCION ("RENDERING")
Una vez creado
el objeto, hay que realizar la imagen final, lo cual implica escoger un punto
de vista y colocar fuentes de iluminación.
También se puede
agregar un decorado: un fondo de cierto color y eventualmente un primer plano,
que puede esconder cierta parte del objeto.
Ciertas aplicaciones permiten usar como fondo una
ilustración 2D preexistente y se pueden cortar y pegar otros objetos
tridimensionales desde otras realizaciones.
3.3 TRANSFORMACIONES
TRIDIMENSIONALES
Las transformaciones tridimensionales se pueden
representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de
coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional. Así, en lugar
de representar un punto como (x,
y, z), lo hacemos como (x,
y, z, W),donde dos de estos cuádruplos representan el mismo punto si uno
es un multiplicador distinto de cero del otro: no se permite el cuádruplo (0,
0, 0, 0). Como sucede en el espacio bidimensional, la representación estándar
de un punto (x, y, z, W) con W ≠ 0 se
indica (x/W, y/W, z/W, 1).
La transformación de un punto a esta forma se denomina
homogeneización, igual que antes. Además los puntos cuya coordenada W es cero
se llaman puntos en el infinito.
Las transformaciones geométricas tridimensionales que se
estudian son tres en concreto: traslación, escalado y rotación.
- TRASLACIÓN
Nos permitirá cambiar la
posición de un objeto, moviéndolo en línea recta desde una posición inicial a
la posición final.
Requiere 3 parámetros:
Tx = Desplazamiento en X
Ty = Desplazamiento en Y
Tz = Desplazamiento en Z
Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las
siguientes ecuaciones:
x’= x+Tx
y’= y+Ty
z’= z+Tz
Donde:
Tx, Ty,Tz > 0
Desplazamiento positivo
Tx, Ty,Tz < 0
Desplazamiento negativo
Tx,Ty,Tz = 0 No hay
desplazamiento
La matriz que utilizamos
en la Translación es de la forma:
Y al realizar la matriz el resultado grafico es el
siguiente:
- ESCALACION
La matriz para la transformación de escalación de una
posición P = (x, y, z) con respecto del origen de las coordenadas. Consiste en
cambiar el tamaño de un objeto. Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las
siguientes ecuaciones:
− x’= x Sx
− y’= y Sy
− z’= z Sz
Requiere 3 parámetros:
Sx = Factor de
escalación en X
Sy = Factor de
escalación en Y
Sz = Factor de
escalación en Z
Sx,Sy,Sz > 1 Aumenta
la dimensión
Sx,Sy,Sz < 1
Disminuye la dimensión
Sx,Sy,Sz = 1 Se mantiene
la dimensión
La matriz que se utiliza para la escalación es de la
forma:
La resultante de la matriz dentro de una grafica
tridimensional seria:
- ROTACIÓN
Para generar una transformación de rotación, debemos
designar un eje de rotación respecto del cual girara el objeto, y la cantidad
de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).
Una rotación tridimensional se puede especificar
alrededor de cualquier línea en el espacio.
Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos
paralelos a los ejes de coordenadas.
Los ángulos de rotación positiva producen giros en el
sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una
coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad
positiva del eje hacia el origen de coordenadas.
Los ángulos de rotación positiva producen giros en el
sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una
coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad
positiva del eje hacia el origen en coordenadas.
Se forma una matriz de rotación inversa al sustituir el
ángulo de rotación θ por –θ. Los valores negativos para los ángulos de rotación
generan rotaciones en una dirección en el sentido del reloj, de modo que se
produce la matriz identidad cuando se multiplica cualquier matriz de rotación
por su inverso.
Consiste en girar un objeto alrededor de uno de los ejes
de coordenadas. Respecto al eje Z,
Por ejemplo, las nuevas coordenadas se obtienen mediante
las siguientes ecuaciones:
− x’= x cos(α)- y sen(α)
− y’= x sen(α)+ y cos(α)
− z’= z
Donde α es el ángulo de giro
Las matrices que se utilizan para cada eje de coordenadas
son las siguientes:
Y gráficamente los resultados son:
Rotación con respecto al eje X
Rotación con respecto al eje Y
3.4 LINEAS Y SUPERFICIES CURVAS
La necesidad de representar curvas y superficies proviene
de modelar objetos representar objetos reales. Normalmente no existe un modelo
matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos,
esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del
modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.
La representación no paramétrica de una curva puede ser
implícita y = f(x) o bien explícita, f(x, y) = 0
La forma implícita no puede ser representada con curvas
multivaluadas sobre x, mientras que la forma explícita puede requerir utilizar
criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más
soluciones de las deseadas.
De igual manera la representación paramétrica tiene la
forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2
La derivada o vector tangente es P’ (t) = ( x’(t), y’(t)
)T
El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de
cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1.
Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo
normalmente modifica el comportamiento de la curva.
